確かにその通りなんですが…
この駅伝の問題は、餅の数→区間の数、わさび入りの数→上り坂の数と考えれば、ロシアンわさび餅の問題と数学的に同じだというのはすぐ気付かれると思います(厳密に言えば、勝った人が残りのわさび無し餅を全部食べないことが違いですが、それは誰が勝つかには関係ありません)。

(0,0)から(5,3)まで格子図を書いて、お考え下さい
全てのルートの数は
8C3=56
aが元気で残る場合のルートの数を考える
まずaが走り(0,0)→(1,0)に進む
そこから3人が走るので、次にaがスタートする地点は(1,3) (2,2) (3,1) (4,0)のいずれかになる
①(1,3)の場合
(1,0)→(1,3)のルートは1通り
走れるのはaだけ
aが走ることで(1,3)→(2,3)に進む
(2,3)→(5,3)のルートは1通り中でaが元気で残るのは
この1通りだけ
よって、1×1=1(通り)
②(2,2)の場合
(1,0)→(2,2)のルートは3C2=3
走れるのはa以外に1人
aが走ることで(2,2)→(3,2)に進む
次にaがスタートする地点は(3,3)または(4,2)
ⅰ(3,3)の場合
(3,2)→(3,3)のルートは1通り
走れるのはaだけ
aが走ることで(3,3)→(4,3)に進む
(4,3)→(5,3)のルートは1通り中でaが元気で残るのは
この1通りだけ
よって、3×1×1=3(通り)
ⅱ(4,2)の場合
(3,2)→(4,2)のルートは1通り
走れるのはa以外に1人
aが走ることで(4,2)→(5,2)に進む
(5,2)→(5,3)のルートは1通り中でaが元気で残るのは
この1通りだけ
よって、3×1×1=3(通り)