虚数って共感湧くよな

**走り出す名無し**(愛知県) · 2019/08/09(金) 13:26:20.04

自分しか理解者がいないんだぜ

2021/02/18(木) 14:51:30.83

数学教師に五回くらい聞いても最後まで結局分からなかったのが虚数だな
頭いい人はむしろこれで数学好きになるとかいうけど

**走り出す名無し**(茸) (ｽｯｯﾌﾟ Sd1f-UUJl) · 2021/02/19(金) 12:25:04.73

オイラーの公式を知ればもっとよく理解できるようになる。
特に円周率と虚数の関係が。
オイラーの等式も、式として美しいが、本質を表してないので、却下。

2021/02/19(金) 23:12:29.65

今日の日テレ「頭脳王」に以下のような問題が出た。
「光の半分の速度で1時間移動すると、どれだけ未来に行けるか？」
答えは「8分2秒」だったが、おそらく次のような考え方をしている。

解説しやすくするため、地球に対してロケットが光の半分の速度で移動するものいう状況設定をする。
地球で1時間（＝60分）経過したとき、ロケットでの固有時は、

×√｛1－（1/2）^2｝＝51.96分

地球では60分経過したのに、ロケットでは51.96分しか経過していない。だから、その差を取って。60分－51.96分＝8.04分＝8分2秒だけ未来に来たことになる。

分かりにくければ、猿の惑星のように大きな時間差で考えればいい。
地球では1001年経過したのに、ロケットでは1年しか経過していないということになれば、
ロケットは1000年先の未来に来たこととなる。

ただし、以上の解答は相対論の本質がよく分かっていない。
あれだけ頭のいい連中がそろっていて誰も問題視していないことに驚く。

2021/02/19(金) 23:17:31.40

誤　×√｛1－（1/2）^2｝＝51.96分
正　60分×√｛1－（1/2）^2｝＝51.96分

2021/02/19(金) 23:25:11.59

上のような解答が問題なのは、慣性系での変換しか考えていないということだ。
どういうことかと言うと、1時間経過したとき、ロケットは地球から次の距離だけ離れたところにいる。

（3.0×10^8）×60×60×60＝2.88×10^12m＝28.8億km

相対論においては時間と空間が融合して、違う慣性系で離れた場所での時間差があるのが当たり前なので、
それを「未来」だとか「過去」だとかの表現はできない。
同じ地点に戻ってきたとき、初めてそう言った言葉が使える。

だから、ちゃんとした問題とするためには、たとえば、次のように書き変えなければならない。
「光の半分の速度で30分間移動して、瞬間的な加速で、最初と逆向きに光の半分の速度にして、30分間移動して元の地点に戻ってきた。このとき、どれだけ未来に行けるか？」

そういう問題なら、上でも使った相対論係数の逆数√｛1－（1/2）^2｝を二重に引き受ける必要があるので、
それを二乗した1－（1/2）^2を用いて計算すれば、
60分×｛1－（1/2）^2｝＝45分
後は同様にして、60分－45分＝15分未来に来たことになる。

2021/02/19(金) 23:26:55.08

>>350
>>100-104に書いているけどな。

2021/02/20(土) 23:30:48.92

>>353
どうでもいい間違いだが、正しておく。

誤　（3.0×10^8）×60×60×60＝2.88×10^12m＝28.8億km
正　（3.0×10^8）×1/2×60×60＝5.4×10^11m＝5億4千万km

要は、8分2秒の未来にやって来たというが、地球から5億4千万kmも離れた地点だということを鑑みれば、そういう主張は意味をなさないということ。
（28.8億kmでも5億4千万kmでも同じことである。）
その地点が地球の時刻と同期化しているということは確かであるにせよ、そこに地球はないので、未来に来たということにはならない。

2021/02/20(土) 23:34:04.02

普段からゴリゴリ電磁波扱うから虚数なかったらどうやって波動方程式の解表すんやろってゾッとする

2021/02/22(月) 14:31:32.38

皆頭いいなあ

2021/03/01(月) 22:46:49.81

数学上の詭弁と思ってたらマジであるのが虚数

2021/03/08(月) 23:23:55.27

>>353を読み直してみたら、訂正すべきところがあった。
加速して戻ってきたときのロケットでの固有時間を45分のように書いているが、51.96分のままだな。
したがって、その場合の答も「8分2秒未来に来た」ことになる。

以下のことと混同していた。
地球での時間が60分で、その60分間において地球からみたロケットの固有時間が60×√3 /2（＝51.96）分で、
その60×√3 /2分間において、ロケットから見た地球の固有時間が60×√3 /2×√3 /2＝45分となる。
地球時間に60分－45分＝15分のずれがあるが、「頭脳王」の問題のように一定速度で離れていくだけなら問題ない。
（ただし、>>351に書いたように、だからこそ離れた場所での比較で「未来」とかの表現はできないという問題はある。）
ところが、加速度をかけて地球に戻ってくるのなら、15分の矛盾が起きる。
それはロケットが加速した瞬間にロケットの同時刻線の傾きが一気に変化することで調整される。
この相対論係数の逆数の√3 /2を「加速度が二重に引き受ける必要がある」というのはそういうことである。
ただし、ロケットの固有時間は60×√3 /2（＝51.96）分のままで、変わらない。

丁寧に書けば、60分を往復の30分ずつに分けて、
地球時間30分でのロケットの固有時間が30×√3 /2分で、ロケット時間30×√3 /2分での地球の固有時間が30×√3 /2×√3 /2＝22.5分である。
対称的な運動なので、往復では2倍とすればよく、ロケットの固有時間は30×√3 /2×2＝51.96分となり、
30分×2＝60分と30×√3 /2×√3 /2×2＝45分の差を加速度が引き受けることとなる。

2021/03/18(木) 13:22:53.74

難しい

2021/03/21(日) 10:32:20.51

虚数を見つけたの誰か知らないけどこれがないと計算が進まないから作ってみたのかね
発想が凄いと思う

2021/03/24(水) 17:05:53.71

わかる

2021/03/28(日) 15:07:11.34

難しい

2021/03/31(水) 13:00:19.83

高校で虚数やらないでほしかったな
あれのせいで数学から遠ざかってしまった

2021/04/01(木) 18:49:48.42

分かる

2021/04/06(火) 18:23:51.22

分かる

2021/04/09(金) 20:06:23.58

虚数むずい

2021/04/14(水) 02:08:45.69

難しすぎてね

2021/04/17(土) 18:33:22.98

難しい

2021/04/17(土) 22:12:13.93

>>339
でも、大学の教養過程レベルの数学を理解できる能力のないお前にはその面白さはわからんだろ
出来の悪い高校生でも書けるスローガンのような>>19の書き込みして悦に入るのが精一杯なんだろ

2021/04/29(木) 01:16:15.86

虚数難しい

2021/05/03(月) 10:27:20.25

もっと漫画とか図解にして教えてほしかった

2021/05/08(土) 16:55:12.97

難しいよな

2021/05/14(金) 22:44:28.02

わか

2021/05/18(火) 19:45:53.24

好き

2021/05/23(日) 04:42:55.63

奇数ならわかる

2021/05/23(日) 06:56:05.21

わかりみ

2021/05/24(月) 18:37:39.23

この存在しない数字を使わないと作れない公式とかあるのが何かすごい凄い

2021/05/26(水) 19:40:00.80

難しい

2021/06/01(火) 13:30:18.60

数学の面白いところ

2021/06/05(土) 08:11:36.23

円周率と虚数好き

2021/06/06(日) 16:03:49.24

わかる

2021/06/10(木) 13:30:52.27

円周率を割り出す式を知りたい

2021/06/12(土) 23:13:40.24

>>383
効率よく計算するためのよりよい方法はいくつかあると思うが、正多角形を用いて導出するのが誰にでも理解できる初等的な方法かな。
円に内接する正多角形の外周よりは円周は長く、円に外接する正多角形の外周よりは円周は短くなることを考えればよい。

円の半径をrとする。
内接する正方形の外周は4√2 rで、外接する正方形の外周は8rとなることは空で計算できる。
円の直径2rで割れば、それぞれ2√2（≒2.83）、4となり、円周率はその間にあることが分かる。

正五角形は少しめんどいので、正六角形を用いると、内接する外周は6rで、外接する外周は4√3 rとなるのも簡単に暗算できる。
同様に2rで割れば、それぞれ3、2√3（≒3.46）となり、円周率はその間にあることが分かる。

正多角形の辺の数をどんどん大きくしていけば、より精密な値を求めることができる。

2021/06/12(土) 23:23:26.92

ちなみに「円周率が3.05より大きいことを示せ」といったような問題が東大入試で出題された。
中学生のとき、上のような正六角形での計算を学校や塾でやったことのある人ならソッコー求めらたと思う。
内接する正六角形で考えたときで円周率は3以上となっているので、それよりも辺の数を多くして考える必要がある。
問題は正ナニ角形を用いるかということだが、計算機が使用できず、手動計算しなければならないので。その可能性は限られてくる。
30°の半分の15°なら三角関数の二倍角の式を使えば手動計算できるのは即座に思いつく。
そこで正十二角形にアタリを付けてみる。
一辺の長さが√（2―√3）rとなり、全周が12√（2―√3）rとなるので、円周率は6√（2―√3）より大きいことは分かる。

後は、二重根号の計算処理をすればいい。
近似値を求めるというわけではなく、3.05より大きいことを言えばいいので、二乗したものの差で計算すればよい。
6√（2―√3）＞3.05が示せるので、証明完了となる。

2021/06/12(土) 23:28:21.18

単純だけど嫌な数値計算が最後のところでちょっと時間はかかるとはいえ、
正六角形の場合でやったことのある人なら、その入試問題を完答するのに10分もかからないはず。
解答の方針を立てるために、多少の発想の飛躍や論理力は必要だが、東大受験者なら最低レベルの学力でも10分以内は超えられる壁だ。

一題分の点数を丸ごとゲットでき、残り時間にも余裕ができるので。
苦手な数学に足を引っ張られ、例年なら合格に及ばなかったが、その問題のおかげで、その年には合格できたのも多いんじゃないかと睨んでいる。

2021/06/13(日) 21:39:01.64

虚数難しい

2021/06/14(月) 07:14:06.55

真円は作れない？

2021/06/15(火) 20:12:41.58

皆頭ええな

2021/06/20(日) 06:50:18.28

分かる

2021/06/23(水) 07:11:13.25

割り切れないことが判明してるなら真円も作れないのか

2021/06/23(水) 23:13:09.47

>>391
円周率πとは直径に対する円周の長さの比率のことで、円を猫図するときには特に考える必要はないんじゃないか？
ある一点から等距離にある点の集合が円であるという定義に従えば、コンパスを使って描けばいいだけのこと。

図形を表す量に無理数が含まれているということとその図形を描くということとは別問題。
たとえば、30°、60°、90°の直角三角形を描けと言われて、二辺は整数にすることはできるけど、一辺は必ず無理数になるから正確には描けないということはない。
分度器で角度を測って描けばいいだけのこと。

2021/06/23(水) 23:19:24.33

ただし、猫図する方針は正確であっても、定規や筆記具が歪んでいるため、完全に正確な図形を描くことはできないというのは言える。
たとえば、線分ですら完全なものは描けない。
（直線というと無限に長いというのが本来の定義だから線分とした。）
定規を使って、どんなに真っ直ぐな線を描いたつもりでもミクロンの世界では必ず歪んでいる。
最新のハイテク機器を使っても同じこと。
0.00000000000000000000000000000000000000000000000001メートルの世界では必ず歪んでいる。

完全な線分、完全な図形、完全なものというのは現実には存在せず、人間の理性によってのみ認識できる。
プラトンはこれをイデアと呼んだ。
完全を求める人間の欲望は現実の中ではけっして満たされない。
この矛盾の中に人間は生きている。
そういう意味ではイデアはイマジナリーつまり虚数的であると言える。

2021/06/26(土) 23:20:28.05

素数はパスワード技術に使われてて新しい素数見つけると莫大な金になるとか聞いことがある

2021/06/27(日) 23:15:44.83

>>394
素因数分解した2つの素数が暗号の鍵になるという仕組みか。
15＝3×5なので、15を暗号とするのなら、3と5がその鍵となる。

素数には規則性がなく、簡単に見つけることができないため、素数は暗号となりえる。
15だったら誰でもソッコー見つけることができるが、何百桁の大きな素数となるとスパコンでも相当な時間がかかるらしい。

2021/06/27(日) 23:25:54.36

今でもあるかは分からないが、お台場のパナソニック館の中に素数ホッケーというゲームマシンがあった。
テーブルの上に光で投影された数値がプレイヤーのほうに向かってきて、
素数でなければ打ち返すと2つの積に分解され、素数であればスルーしてゴールに招き入れる。
いずれの場合も得点になるが、高得点の秘訣はできるだけ大きい素数を見抜くこと。
999以下の数に限定されているが、2桁の素数どうしは瞬時に判断できない。
たとえば943＝23×41だが、暗算の訓練を受けていない者には瞬時に見抜くのは無理だな。
ただ、ゲームに興じて手を動かしていると、脳が活性化するのか、意識していなかった回路が開くこともある。
899＝900－1＝30^2－1^2＝（30＋1）（30－1）＝31×29なので、899が素数でないことを瞬間的に見破って、打ち返したことがある。

2021/06/27(日) 23:31:47.14

その方法で他に2桁の素数どうしの積となっている他の数も考えた。
30と素になる7、11、13に目を付け、次のような数が瞬時に浮かび上がった。
851＝900－49＝30^2－7^2＝（30＋7）（30－7）
779＝900－121＝30^2－11^2＝（30＋11）（30－11）
731＝900－169＝30^2－13^2＝（30＋13）（30－13）
851、779、731が来たら、叩いてやろうと意気込んで、ゲームを繰り返したが、結局、三つともやって来なかったな。
完璧に対処するためには暗算能力を身に付けるか、2桁の素数どうしの積となっている数を全て覚えるしかない、

2021/06/29(火) 22:58:44.30

>>397の補足。

二桁の数の二乗計算であれば暗算する方法がある。
たとえば、79の二乗なら、79^2＝（70＋9）^2なので、79^2＝70^2＋2×70×9＋9^2＝4900＋1260＋81となる。
ここでポイントになるのは。右辺の第一項と第三項とは二桁違うので、4981と簡単に計算できる。
第二項の1260という計算も難しくはない。
4981と1260を足し合わせるのを頭の中で処理しなければならないが、第二項の一の位は必ず0となるので、実質的に三桁の足し算なので、難しくはないだろう。

この要領で、二桁の素数、たとえば17，19，23，29、31などの二乗は楽に暗算できる。

2021/06/30(水) 19:10:16.54

素数作るプログラム作ったらフリーズしたな
まあ終わりがないから当たり前か