虚数って共感湧くよな

**走り出す名無し**(愛知県) · 2019/08/09(金) 13:26:20.04

自分しか理解者がいないんだぜ

**走り出す名無し**(東秩父村) · 2019/08/09(金) 13:28:59.76

割り切れる友人もいないからな

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/08/09(金) 13:40:07.80

>>2
素数の方がそれっぽい

**走り出す名無し**(東秩父村) · 2019/08/09(金) 13:41:42.76

>>3
完全にそれとごっちゃになってた

**走り出す名無し**(豊根村) · 2019/08/09(金) 14:17:16.51

素数は暗号システムに関与するから重要なんだよな

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/08/09(金) 15:36:04.62

複素数平面導入すると、(-1)×(-1)=1
が目に見えて理解できるの好き

**走り出す名無し**(ジパング) · 2019/08/09(金) 15:39:09.12

>>6
猿にも分かるように解説頼む

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/08/09(金) 23:49:36.13

>>7
>>6とは別の東京都だけど、レスがないみたいなので、代わりに答えるね。
おそらく、こんなことが言いたいのだと思う。
（‐1）を乗じれば、符号が反転する。
3×（‐1）＝‐3という具合に。
これは数直線上で、180°回転したことになる。

ところで、虚数単位iを二乗すれば‐1となる。
つまり、i×i＝‐1である。
そうすると、iを乗じるというのは、90°回転するということになる。
だから、複素平面上の虚軸は実数軸（数直線）と90°の角度をなすこととなる。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/08/09(金) 23:56:39.16

ただし、これは順番が逆だと突っ込まれる危険はある。
複素平面の構造が分かったから虚数の性質が分かるというもののではなく、
虚数の性質を前提としたから複素平面の構造が分かるということになるのではないのか、と。
その通りである。
ただ、人が「理解した」と考えるのは、すでに知っている表現の間に同型な構造を結びつけた時ではないだろうか？
もし、その人の中に同じ構造を持つ表現が存在しないときには、その構造を丸暗記的に頭の中につくることがまず必要となる。
だから、複素平面の構造をまずは丸ごと受け入れて、そこから逆にして考えればよい。
つまり、実軸の正と負は180°の角度をなし、実軸の正と虚軸の正は90°の角度をなしている。
だから、iを二乗すれば‐1となるという具合に。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/08/09(金) 23:58:28.19

なお、e^iθ（eのiθ乗）が複素平面上の単位円上をθだけ回転するということが理解できていれば、
もう少し正確に虚数の性質を解析することはできるが、数式エディットに対応していない5CHで説明するのは難しい。

**走り出す名無し**(埼玉県) · 2019/08/10(土) 00:07:31.95

>>10
通りがかりだけど、面白いな

180度と90度ということは、常識として正の反対は負と単純に考えてしまうんだけどそうじゃなくて、
正に対しての負は必ずしも真反対にはならないってことなのかね
多分かなり分かりやすく説明してるんだろうけど、難しい
これを使うことで何か便利になるんかな

**走り出す名無し**(静岡県) · 2019/08/10(土) 03:27:40.84

虚数って虚無感湧くよな

**走り出す名無し**(神奈川県) · 2019/08/10(土) 08:29:02.50

オイラにゃ難しい

**走り出す名無し**(やわらか銀行) · 2019/08/10(土) 17:57:04.02

オイラーには簡単すぎる

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/08/10(土) 21:02:12.71

>>11
>常識として正の反対は負と単純に考えてしまうんだけど
そういうことを言っているつもりなんだけど。
正の数である3と負の数である－3とは数直線（実数軸）上では180°の角度をなしている。
複素平面上では、縦に虚数軸があって、正の実数軸と正の虚数軸とは90どの角度をなしている。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/08/10(土) 21:18:18.14

図は複素平面を表している。
図中には表示していないけど、横軸が実軸で縦軸が虚軸となっている。
3を90°回転させれば3iとなり、3iを90°回転させれば－3（＝3i×i）となり、
－3を90°回転させれば－3iとなり、－3iを90°回転させれば3（＝－3i×i）となる。
つまり、iを乗ずるということは、複素平面の図形上では90°回転させることに等しい。

この発想はどこから来たかというと、3×（－1）＝－3なので、－1を乗じることはは180°回転させることになる。
だったら、‐1＝i×iなので、iはを乗じることは90°回転させることになるということから。

ともあれ、複素数の性質から、複素平面の構造が分かるということになる。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/08/10(土) 21:23:30.10

回転NHKお向きを書き忘れたので、図を書き直す。

**走り出す名無し**(帝国中央都市) · 2019/08/10(土) 21:24:27.85

>>16
うおおおお
初めて虚数を感覚的に理解できた説明だわ
ただ、一個疑問点として、90度地点に虚数が存在するってのは数学的な仮定？
それとも物理的にも存在する？

**走り出す名無し**(家) · 2019/08/10(土) 21:56:00.30

>>18
複素数は一般にa+ib (a,bは実数)と表される

つまり2つの実数でひとつの複素数を表すから、横軸にaを、縦軸にbをとると平面上に複素数がプロットできるというのが複素数平面

90度地点はa=0だから純虚数(ibの形)になる

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/08/10(土) 21:57:56.71

>>18
まずは数学的な仮定だと思ったほうがいい。
だけど、・・・・
実は物理でも出てくる。

直ぐ思い浮かぶのは次の三つである。
(1)振動の解や電気交流の解を求めるとき
(2)特殊相対性理論の世界観を構築するとき
(3)量子力学で電子波を表すとき

ただし、(1)はあくまで計算テクニックとしてで本質的な部分に虚数がかかわるというわけではない、
また、(2)も虚数座標は手助けとなるが、特殊相対論そのものには虚数が必要というわけではない。
ところが、(3)は虚数が存在しなければ、完全に理論が成り立たない。
というのも、電子波の存在確率は実数だとゼロとなる瞬間があるので矛盾が起き、
虚数を含めることでしか検出確率がゼロとなることは回避できない。
実在しないはずの虚数が実在の電子波にかかわっているという得体のしれない奥深さは、
自然科学を学ぶにあたっては唯一神秘的な体験だった。

**走り出す名無し**(たまごやき) · 2019/08/10(土) 22:02:34.84

>>19
これは理解困難だわ

>>20
(3)の量子力学って例のシュレディンガーのやつだよね
あれ自体が哲学的な話にも見えるし仮定論的な話だけど電子波の説明には虚数が必須なのか
仮定を使わないと計算できないってのは本当不思議だな
そのうち虚数の存在が実在すると証明されるのかな

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/08/10(土) 22:07:49.84

>>21
そう、それ。
観察していないときには、電子波として広がりを持っているが、
観察すると、一点に収縮するという魔訶不思議なやつ。
不思議な物理理論には不思議な数である虚数が必要となる。
でも、量子力学は現在のエレクト二クス理論を司っているので、
それがないと身の回りの電化製品は一切設計できない。

**走り出す名無し**(家) · 2019/08/10(土) 22:08:33.40

>>21
量子力学でも、実験で観測されるような量はもちろん実数で求まるようになってるよ

観測されない部分は複素数であっても問題ないじゃないかの精神

**走り出す名無し**(たまごやき) · 2019/08/10(土) 22:13:48.06

>>22
量子力学ってそこまで実生活に組み込まれてたのか
謎すぎる・・・

>>23
観測されない部分もいずれはわかるようになるかもね
あの理論自体がクレイジーというかよく思いついたなって感じだし

**走り出す名無し**(たまごやき) · 2019/08/10(土) 22:13:59.46

>>22
量子力学ってそこまで実生活に組み込まれてたのか
謎すぎる・・・

>>23
観測されない部分もいずれはわかるようになるかもね
あの理論自体がクレイジーというかよく思いついたなって感じだし

**走り出す名無し**(家) · 2019/08/10(土) 22:14:18.63

>>20
実数より広い体である複素数を使うのは結構自然なように思えるんだけどどう？

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/08/10(土) 22:16:12.11

>>23
いや、そういうことを言っているんじゃんない。
たとえば、力学的な定常波を考えるとき、必ず全ての位置で変位がゼロとなる瞬間がある。
それは別段、問題ない。
ところが、電子波もそれと同じようなれば、
電子波が全ての位置でゼロとなる瞬間があるということなので電子が消えてしまうこととなり、矛盾が起きる。
それを回避するために虚数が必要となるということ。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/08/10(土) 22:19:27.67

>>26
たいかに、そういう考えは自然だろうけど、虚数というのはあくまで「虚」な数なので、
それが実在を相手にする物理で出てくるというのが驚きである。

**走り出す名無し**(たまごやき) · 2019/08/10(土) 22:25:32.50

>>27
そこは逆に物理学の方面からは解けないのかね
電子波は物理的に実在してるわけなのに

**走り出す名無し**(家) · 2019/08/10(土) 22:27:50.52

>>27
まあそれも実数だけじゃだめな理由になりそうだね

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/08/10(土) 22:35:39.96

>>29
う～ん、ビミョウな問題提起だな。
量子力学はもちろん物理学の一分野であるので、物理学の方面から解いているとは言える。
ただ、その本質に虚数が組み込まれているから、実在するものをあつかう物理学としては異様である。

もっとも、量子力学の根本はニュートンの三法則と同じで、原理的なものと考えていい。
数学でいう公理と同じで、証明できないし、証明する必要もない。
それを認めれば無矛盾のない体系がつくられるということ。
そして、量子力学はそれに成功しているということだけは間違いない。

**走り出す名無し**(家) · 2019/08/10(土) 22:35:46.82

>>29
そういうことを言い出すと実在とは何か？となって哲学になるよ

電子が実際どうやって振舞ってるかなんて人間には分かりえないこと、として物理では触れない

**走り出す名無し**(たまごやき) · 2019/08/10(土) 22:42:35.35

>>31
そもそもが物理学の中なのね
面白いわ

>>32
そこを割り切れる人も賢いな
何でだろうって疑問に思うと考えちゃうわ

**走り出す名無し**(茸) · 2019/08/12(月) 14:53:21.44

数学板でやれ

**走り出す名無し**(青ヶ島村) · 2019/08/13(火) 17:13:59.32

素数の並びに法則があるったの解明されたの？
名前忘れたけど素数の出現は法則性があるって説があったと思う

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/08/13(火) 21:56:55.14

>>35
>素数の並びに法則があるったの解明されたの？
素数というのはランダムに現れるようにしか見えないが、その奥底に隠された素数特有の属性の秘密があるようだ。
ただ、今の段階の人間の能力では、その秘密を解き明かすのはまだまだ大きな壁があるようだ。

>名前忘れたけど素数の出現は法則性があるって説があったと思う
リーマン予想のことをいっているのかな？
未解決の数学の問題の中でもけた違いに難しいらしい。
それに挑戦した数学者たちのドキュメンタリー番組が12年前だったと思うが、NHKで放送された。
はっきりしたタイトルは覚えていないが、「魔性の難問」だったと記憶している。

素数に関するゼータ関数の零点の間隔を求める式と原子核の飛び飛びのエネルギーを求める式が酷似しているということがその中で触れられていた。
それが解明できれば、この宇宙の秘密まで解き明かせるのではないのかと煽っていた。
それが本当なら、まさに魔性だな。

**走り出す名無し**(青ヶ島村) · 2019/08/16(金) 21:46:55.17

>>36
それだそれ
まだ解明されてなかったんだ
フェルマーの最終定理は解明されたのに
それが解けるとかなり役立つらしいね

**走り出す名無し**(ジパング) · 2019/08/22(木) 08:55:03.53

数学トリビア好きだわあ

**走り出す名無し**(悠久の苑) · 2019/08/27(火) 16:25:41.36

ノイマン天才だよな

**走り出す名無し**(福岡県) · 2019/08/30(金) 22:38:41.32

結局フェルマーの最終定理ってその後役に立ったのかな

**走り出す名無し**(家) · 2019/09/09(月) 15:41:47.02

あれはカネにならないらしい

**走り出す名無し**(悠久の苑) · 2019/09/23(月) 13:43:14.22

数学ここでやめた

**走り出す名無し**(ジパング) · 2019/10/08(火) 02:34:23.30

Σのつまらなさは異常

**走り出す名無し**(西日本) · 2019/10/09(水) 01:52:06.50

延々と足し算するマシン

**走り出す名無し**(マシュマロ) · 2019/10/11(金) 00:19:10.26

文系だけど数列だけは好きなマン

**走り出す名無し**(愛知県) · 2019/10/16(水) 00:33:13.02

lim x→∞で1/xとかだと頭の中でブーンって音がしていつの間にかゼロになってる

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/16(水) 21:33:41.45

このスレまだ残っていたのか。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/16(水) 21:35:06.16

>>46
lim 1/x＝0（limの下にx→∞を書く）が正式な記述だね。
あるいは、「x→∞のとき1/x→0となる」でもいいけど。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/16(水) 21:39:01.92

>ブーンって音がしていつの間にかゼロになってる
なかなか面白い言い回しだな。
言いたいことはビビッドに伝わる。
高校数学では極限は厳密にはあつかわれないので、大学で解析学を習ってなければ曖昧になるのも仕方ない。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/16(水) 22:01:51.44

解析学の講義を思い出して説明を試みる。

まずxは自然数としたほうが取っつきやすいので、以下のように変える。

nを自然数としてlim 1/n＝0（limの下にn→∞を書く）

任意に小さな数を指定されても、適当な自然数nをあげてそれより小さくなれば、
1/nがいくらでも0に近づくことを厳密に示したこととなる。
たとえば、0.001（＝1/1000）よりも小さくなるのか？と尋ねられたら、YESと確信を持って答えることができる。
n＝1001とすればいいからである。
じゃあ0.0001（＝1/10000）ではどうか？と尋ねられたら、n＝10001とすればよい。（続く）

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/16(水) 22:14:37.84

じゃあ・・・とより小さい数値を次から次に指定されて、いちいち答えていたらラチがあかない。
それを一般的に示す方法が、ε－δ論法である。
（上のように自然数に限定する場合には、ε－m論法と呼ばれることも多い。）

どんな小さな数ε（先ほどの例でいえば、0.001）に対しても、自然数m（先ほどの例でいえば、1001）をうまく見つければ、
n＞mであるすべての自然数nに対し、|1/n―0|＜εを示すことができることになる。（続く）

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/16(水) 22:28:31.06

その証明の手順は次のように考える。
たとえば、ε＝0.001（＝1/1000）なら、m＝1001とすればいいので、m＝ 1/ε ＋ 1 とすればよい。
ただし、1/εが自然数とならない場合もある。
たとえば、ε＝2/2001なら、1/ε＝1000.5である。
m＝ 1/εとすれば、m＝1000.5となる。
mは自然数でなければならないので、そういう場合にはガウス記号を用いて、m＝［1/ε ＋ 1 ］とすればよい。
（要は、mを自然数とするために、1000.5を切り下げるか切り上げるかをしないといけないのだが、
mは分母にくるので、切り下げたら、εよりも大きくなるので、切り上げなければならない。
ガウス記号を用いてそれを表せば、m＝［1/ε ＋ 1 ］となるということである。）
実際、m＝1001なので、1/n＜1/m（＝1/1001）＜ε（＝2/2001）が成立する。（続く）

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/16(水) 22:36:41.39

問題と証明だけを記せば、以下の通りである。

（問題）どんな小さな数εに対しても、自然数mをうまく取れば、n＞mであるどんな自然数nに対しても|1/n―0|＜εとなることを示せ。

（証明）m＝［1/ε ＋ 1 ］とすれば、|1/n―0|＝1/n＜1/m＝1/［1/ε ＋ 1 ］＜1/（1/ε）＝ε

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/16(水) 22:38:01.42

長々と書き込んでしまってすまなかったが、以上である。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/16(水) 22:44:02.17

言い忘れていた。
上のような問題では、|1/n―0|＜εの左辺に絶対値を付ける必要はない。、
しかし、1/nのところが（－1）^n/nのようになっている場合にも対応するのも含めて、
一般的には絶対を付けて証明する。

**走り出す名無し**(ジパング) · 2019/10/16(水) 23:50:13.43

おいおいここにはノイマンでもいるのかい

**走り出す名無し**(愛知県) · 2019/10/17(木) 01:08:11.34

ブーンって書いた者だが全然わからん笑
Σが延々と足し算するマシンのようにオートメーション化された感じがなんか好き

**走り出す名無し**(茸) · 2019/10/17(木) 02:21:01.88

>>28
実数のペアに簡単な演算入れるだけで作れるもんに実在どうこう言う理由が理解できんけど
名前に騙されて夢見すぎやろ

**走り出す名無し**(神奈川県) · 2019/10/17(木) 14:06:36.69

>>58
でもその演算として「虚数」としてのルールを導入したら複素数の範囲でn次代数方程式がn個の解を持つっていうのはやっぱり何か特別なものを感じてしまうよ

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/17(木) 21:08:31.54

>>57
まあ、Σに限らず数学の記号というのは機械的に処理できるタスクを数式に負わせて、
本質を探る必要のあるところに人間の能力を集中させる効果のために編み出されたものだからな。

ただ、昨日の極限の説明は具体的に数字で表し、それから帰納させて一般的に文字で表すという工夫をこらしたから、
機械的な処理とは縁遠いという自負は持っているつもりだけどな。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/17(木) 21:18:39.26

ちょっと次のようなことを考えてみよう。
1/3＝0.333333333333333・・・・
なので、両辺に3を乗ずると、次のようになる。
1＝0.9999999999999999・・・・

最初、この式を見たときに疑問に湧いたのが、右辺は殆ど1だけど、1そのものじゃない。
だから、等号で結ぶのは間違っているんじゃないかということだ。
だが、それに対する指摘はすでに用意されていた。
右辺は永遠に1に近づいてるので。もし1≠0.9999999999999999・・・・とすれば、
1よりもわずかに小さいところにブランクができる。
（数直線で考えれば、1の左側が空白の点となる。）
実数というのは連続的でなければならないので、それだと矛盾が起きる。
そういう観点からも、1＝0.9999999999999999・・・・は正しいのである。

**走り出す名無し**(兵庫県) · 2019/10/17(木) 21:25:34.13

>>59
物理とか実在性とかと関係無い話になってるけど、
数学の話としては、実数がこんな簡単な拡大で代数閉体になるってのは不思議感はあるね

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/17(木) 21:31:25.25

>>61の続き

以上のことを踏まえて、昨日の説明を補足しておこう。

昨日の例だと、0に収束するので、かえって見にくいところもあったかもしれない、
一般的なε－δ論法（ε－m論法）は次のようになる。

どんな小さな数εに対しても、自然数mをうまく取れば、
n＞mであるどんな自然数nに対しても|an―α|＜εとなれば、anはαに収束する。
（anは数列を表していて、nは添え字だが、5CHでは添え字表記ができない。）
ここで、εは文字なのでいくらでも小さくすることができるというのがミソ。
anとαとの値の差をそのεよりも小さくするmを見つけるのだから、anはαに永遠に近づいていることになる。
もしan＝αが成立しないということになると、実数の連続性が担保できなくなる。
したがって、≒（近似式）ではなく、＝（等号）が厳密に成立するので、lim an ＝α（limの下にはn→∞を書く）となる。

**走り出す名無し**(家) · 2019/10/17(木) 21:33:48.11

実数が存在する数で虚数が存在しない数、というのは名前に惑わされすぎ

数学的には数に存在する、存在しないの概念はない
物理的には観測量が実数であればそれでいい

つまり波動関数が複素数値なのは数学的にも物理的にもおかしくも不思議でもない

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/17(木) 21:44:02.80

>>58
アンカーの流れから、>>20の(3)の場合を言っているというのは分かっているよね。
実数で波動方程式を表すなら、高校生でも習うように、
ψ＝Asin2πν（t－x/v）となる。
E＝hν、p＝h/λを用いると、量子力学らしい表記に簡単に変形できる。
ψ＝Asin2π/h（Et－px）・・・（※）
（慣用的な文字を使っているので文字の説明は省くが、νはブイではなくニューで振動数を表している。）

さて、ド・ブロイが提唱したように、原子の周りに円状に定常波ができているとすれば、
（※）の位相を変えて重ね合わせることになり、sinとcosの積となる。（その計算は面倒だから省略すけど高校生でもできる。）
しかもそれぞれの因子が変数tと変数xだけで表されることになり、ψ＝0となる時刻が必ずある。
ψの絶対値が電子の検出確率を表しているので、必ずある時刻で検出確率がゼロとなり、
電子が消えてなくなるという矛盾が起きる。
したがって、実数に演算子を入れるだけでは無矛盾の波動方程式は絶対につくれない。

**走り出す名無し**(茸) · 2019/10/17(木) 22:20:34.67

>>65
実数に演算入れるだけでは無理、と言っても実数2つ用意して簡単な演算入れるだけでいけるやんって話なんだけど

何で実数は物理に表れても不思議じゃないのに実数2つのペアは物理に表れると不思議なの？
1次元空間は実在するけど2次元空間とか3次元空間は「虚」なの？
スカラー場は実在するけどベクトル場は「虚」なの？

**走り出す名無し**(家) · 2019/10/17(木) 22:20:51.71

>>65
その人のいう演算は演算子じゃなくて複素数の演算の事だと思うよ

あと、電子の例は間違ってはないけど的を外してるからもういいよ

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/17(木) 22:26:23.60

>>65
いや、だから、実数と演算子との組み合わせだけでは、絶対に電子が消えてなくなるという矛盾が回避できなくなるということを言っているんだが。

>>67
どこをどう的をハズしているんだい？
>>58の勘違いについて核心を突いたことを書いているんだが。
そもそも>>20が発端だということを考えれば分かることだが。

**走り出す名無し**(家) · 2019/10/17(木) 22:45:04.52

>>68
誰も量子力学で複素数が使われることを否定してないってことだよ
それなのに一生懸命量子力学で複素数が使われる理由（みたいなもの）を説明するのは的を外してるでしょ

**走り出す名無し**(兵庫県) · 2019/10/17(木) 22:45:33.03

>>68
2次元実ベクトル考えたら回避できるやんて話やけど
2次元実ベクトルが実在を相手にする物理で出てくるというのが驚きってこと？

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/17(木) 22:51:28.24

>>58で次のように書いているよな。
>実数のペアに簡単な演算入れるだけで作れるもんに実在どうこう言う理由が理解できん
その理解できないことを正しく諭してあげているんだが

>>68
2次元実ベクトル考えて、どうやって、電子が消えてなくなるという矛盾を回避できるというのか、
ぜひ示してくれ。
それを書いてネーチャーに提出したらノーベル物理学賞をとれるぜ。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/17(木) 22:55:45.43

アンカーなしとアンカーミス
正しく付けておこう

>>69
>>58で次のように書いているよな。
>実数のペアに簡単な演算入れるだけで作れるもんに実在どうこう言う理由が理解できん
その理解できないことを正しく諭してあげているんだが

>>70
2次元実ベクトル考えて、どうやって、電子が消えてなくなるという矛盾を回避できるというのか、
ぜひ示してくれ。
それを書いてネーチャーに提出したらノーベル物理学賞をとれるぜ。

**走り出す名無し**(家) · 2019/10/17(木) 23:02:38.93

>>72
それは君が理解できてないだけでその人が言いたいことは俺はわかるよ

というか板汚しだしもうやめましょう
せめてsageて

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/17(木) 23:08:59.83

>>73
じゃ、お前さんが代わりにそのノーベル物理学賞級のことを理解できたことを書けよ。

それと、あえてあげることにする。
万人衆目の下にさらして恥をかかせてやるべきだと思うから。

**走り出す名無し**(兵庫県) · 2019/10/17(木) 23:13:09.06

>>72
シュレディンガー方程式で波動関数を複素数値の関数でψ=ψ_0 + i ψ_1と書く代わりに、実関数ψ_0 とψ_1で(ψ_0 , ψ_1)と書くだけやぞ

A∂_t (ψ_0 , ψ_1)^t = (-(∂_x)^2+V) (ψ_0 , ψ_1)^t
Aは行列で、A_{0,0} = 0、A_{0,1} = -1、A_{1,0} = 1、A_{1,1} = 0

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/17(木) 23:19:47.60

>>75
今までの流れを考えろ。
「実数だけで量子力学は無矛盾の式がつくれる」という間違いに、
「字数だけだと電子が消滅するという矛盾が起きる」と正しく諭した。
なんでそれが俺に対するレスになるんだ？
自分でも理解できていないのなら、適当なことを書くな。

**走り出す名無し**(家) · 2019/10/17(木) 23:24:08.81

>>74
ノーベル賞級じゃなくて学部レベルの話だけど...

複素数体Cは、実ベクトル空間R^2に演算
(a, b)×(c, d)=(ac-bd, ad+bc)
を入れたものと同型だから、これを使って量子力学を構成することも出来るって話
普通は扱いやすい複素数を使うけどね

だから実数だけで構成できなくもないんだよ
言いたいことは「虚数が存在しない数だから」という理由で神秘的だとか感じるのは間違ってるということ
そして俺はもうやめますさようなら

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/17(木) 23:24:09.83

ψ=ψ_0 + i ψ_1
実関数ψ_0 とψ_1で(ψ_0 , ψ_1)
A∂_t (ψ_0 , ψ_1)^t = (-(∂_x)^2+V) (ψ_0 , ψ_1)^t
上の式が何を表しているのかを詳しく書いてくれ。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/17(木) 23:27:42.56

>>77
こけおどしに適当な式を書いているだけだな。
>複素数体Cは、実ベクトル空間R^2に演算
>(a, b)×(c, d)=(ac-bd, ad+bc)
>を入れたものと同型だから、これを使って量子力学を構成すること>も出来るって話
それが、どう考えれば、電子が消えてなくなるという矛盾を回避でるということになるのか？
責任もって説明してみな。

**走り出す名無し**(兵庫県) · 2019/10/17(木) 23:32:47.34

>なんでそれが俺に対するレスになるんだ？
>自分でも理解できていないのなら、適当なことを書くな。
のあとに
>上の式が何を表しているのかを詳しく書いてくれ。
と言われるのは笑ってしまうわ

>>79
>>73の言う通り板違いだし俺もやめるけど
集合とか代数（群、環、体）を勉強すると、数学的な「存在」に対する感覚が理解できると思います

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/17(木) 23:41:17.34

>>80
別に矛盾していることは」書いていない。
「自分でも理解できていない」と思っているからこそ、「上の式が何を表しているのかを詳しく書いてくれ」と試しているんだよ。
その程度の論理も分からないのなら、自分の粗雑な頭を笑えよ。

>集合とか代数（群、環、体）を勉強すると、数学的な「存在」に対する感覚が理解できると思います
取ってつけたような言い回しだな。
せめて代数（群、環、体）がどういうもので、それを理解するとどうして数学的な「存在」に対する感覚が身につくのかを根拠を挙げて書けよ。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/17(木) 23:53:23.65

さて、今日はもう離れるが、ざっと晒しておこう。
よく理解もできていないくせに適当なことばかり書けるものだと驚かされる。

>>66
>何で実数は物理に表れても不思議じゃないのに実数2つのペアは物理に表れると不思議なの？
上のレスが>>65とは全く関係のないことは誰でもわかる。
実数2つのペアは物理に表れると不思議だなんてどこに書いている？

>>67
>その人のいう演算は演算子じゃなくて複素数の演算の事だと思うよ
>>58の粗雑な頭を理解しているらしい。
粗雑な頭どうしでテレパシーでも働くのか？

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/17(木) 23:53:44.35

>>70
>2次元実ベクトル考えたら回避できるやんて話やけど
2次元実ベクトルをもちいれば、どう回避できるのかすら書いていない。

>>75
>ψ_0 とψ_1で(ψ_0 , ψ_1)
>A∂_t (ψ_0 , ψ_1)^t = (-(∂_x)^2+V) (ψ_0 , ψ_1)^t
>Aは行列で、A_{0,0} = 0、A_{0,1} = -1、A_{1,0} = 1、A_{1,1} = 0
ネットから見つけた適当に式をコピペしているだけ。

>>77
>複素数体Cは、実ベクトル空間R^2に演算
>(a, b)×(c, d)=(ac-bd, ad+bc)
>を入れたものと同型だから、これを使って量子力学を構成すること>も出来るって話
これもネットから見つけた適当に式をコピペしているだけ。

>>80
>集合とか代数（群、環、体）を勉強すると、数学的な「存在」に対する感覚が理解できると思います
数ある数学の分野の中で、なぜ集合とか代数（群、環、体）だけが数学的な「存在」に対する感覚を身に付けることが不明。
これは数式ではなく言葉を適当に並べただけ。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/19(土) 22:41:51.00

あまりにも身の程をわきまえない態度に一昨日は苛立ってしまった。
騒がせてすまなかった。
お詫びに虚数に関することでも書いておこう。

複素数の計算は複素平面上の図形ではどう表されるかということについて。
2つの複素数p、q をp＝a＋ib、q＝c＋idとおく。
複素数の足し算が図形的にはどうなるのかというのは簡単である。
p＋q＝（a＋c ）＋i（b＋d）というように実部と虚部をそれぞれ足し合わせるだけである。
実数軸と虚数軸とが直交しているので、ベクトルのx、y成分を足し合わせることと同じになる。
つまり、複素平面の原点からp、qを表す点に矢印を引いて、その2本の矢印のベクトル合成となる。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/19(土) 23:01:28.28

かけ算の図形的な意味は少し難しい。
ちょっと準備をしておこう。

複素平面の原点からその複素数を表す点までの距離が複素数の大きさとなり、その絶対値で表す。
つまり、p＝a＋ib、q＝c＋id ならば、|p|＝√（a^2＋b^2）、| q |＝√（c^2＋d^2）である。

また、複素平面原点からその複素数を表す点を結んだ線分と複素平面の実軸との角度が偏角であり、arg(p)、arg(q)などと表す。
複素平面原点からp、qを表す点を結んだ線分と複素平面の実軸との角度をθ、φとすれば、arg(p)＝θ、arg(q)＝φである。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/19(土) 23:13:38.17

お絵描きLOADで図も描いているが、何度やってもエラーとなる。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/19(土) 23:17:22.62

図が描けないと説明しずらいので、図が描けるようになったら改めて書くことにする。

**走り出す名無し**(茸) · 2019/10/19(土) 23:32:03.07

>>84
p=(a,b)、q=(c,d)とか(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)とか書くようにしたら、虚数iを使わずに実数だけで複素数と同じ計算できるってことか

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/19(土) 23:44:36.15

>>88
まあ、そういうことだな。
実軸と虚軸は直交しているので、複素数の実部と虚部はそれはベクトルのx、y成分と同じようなものとなる。
そして、そのことは複素数の足し算が図形的にはベクトル合成のようなものになるということ。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/20(日) 17:03:22.41

お絵描きLOADがやはりエラーとなるので、複素数の積の図形的な意味については書くことは当面諦めて、>>89で書いたことを少し発展させてみる。

p＝a＋ibで、aとbが任意なら、pは複素平面上の全ての点を表しているが、
a^2＋b^2＝1という束縛のもとでa、bを変化させるなら、どうなるだろうか？
複素数の実部aと虚部bはベクトルのx、y成分と同じようなもので、a^2＋b^2＝1という制限があるのなら、円の軌跡を表している。

それが分かりづらければ、>>88が書いてくれたように、p=(a,b)とすれば、虚数iを避けて実数だけで考えることができる。
（pをボールドにするか、上に矢印を付けてベクトルを表しているようにしたいが、5CHではできない）
ベクトルpの成分が(a,b)なので、a^2＋b^2＝1という関係があるのなら、円の軌跡を表しているのはもう明白である。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/20(日) 17:09:49.22

さて、複素数pをp＝cosθ＋i sinθとするとき、それも円を表しているのは明らか。
cos^2θ＋sin^2θ＝1なので、上と全く同等だからである。

ただし、変数がa、bの2つからθの1つとなったので、その軌跡の描かれる様子を知ることができる。
θ＝0のときには、cosθ＝1、 sinθ＝0なので、実数軸上の1の点を表している。
θが0から少し大きくなれば、cosθは1から少し小さくなり、 sinは0から少し大きくなるので、複素平面上で左回転することとなる。
θ＝90°（＝π/2）のときには虚数軸上のiの点を表している。
θ＝180°（＝π）のときには実数軸上の－1の点を表している。
θ＝270°（＝3π/2）のときには虚数軸上の－iの点を表している。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/20(日) 17:16:09.80

e^iθ＝cosθ＋isinθという具合に、指数関数と三角関数とは虚数域では近い関係にあることは知られている。
それを考慮すれば、e^iπ＝－1となることが分かる。
「真の数学者なら、頭の中で処理するだけでe^iπ＝－1の正しさが直観できる」とオイラーは言ったそうだ。
だが、今やったことはそれには当てはまらない。
完全に正しい式であるにせよ、e^iθ＝cosθ＋isinθという直観を受け付けない数式を使ったからである。
ただし、今やったことを踏まえると、その直観的な理解の手助けにはなる。
明日、オイラーへの挑戦を試みる。
（といっても、すでにいくつもの専門書にかかれていることだが。）

**走り出す名無し**(茸) · 2019/10/20(日) 22:27:41.31

コミュニケーションの難しさを実感させられるスレやね

**走り出す名無し**(愛知県) · 2019/10/20(日) 22:32:59.91

こわい…

**走り出す名無し**(ジパング) · 2019/10/21(月) 00:11:18.15

頭はいいんだろうけどな

**走り出す名無し**(神奈川県) · 2019/10/21(月) 09:57:34.87

大学1年の前期でやるようなこと書いてるだけやん

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/21(月) 19:02:42.95

掛け合わせると負の値を取るところとかアイドル板の住人っぽい

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/21(月) 19:06:39.04

アイドルについて語る板で大学の教養過程レベルの数学をドヤ顔で語っちゃうようになる人生、想像するだけで悲しくなってくる

**走り出す名無し**(愛知県) · 2019/10/21(月) 22:12:32.15

閉会！

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/21(月) 22:57:42.89

>>92の続き
指数関数y＝e^xはきわめてシンプルな性質をもっている。
微分しても元の関数と同じになるというものだ。
dy/dx＝e^x＝y
y＝e^(ax)なら、dy/dx＝ae^(ax)＝ay

微分は変化率を表しているので、dy/dx＞0なら正方向に、dy/dx＜0なら負方向にyは変化しようとしている。
a＞0とする。
y＝e^(ax)ならdy/dx＝ayなのでyの正方向に変化しようとしている。
y＝e^(－ax)ならdy/dx＝－ayなのでyの負方向に変化しようとしている。

**走り出す名無し**(東京都) · 2019/10/21(月) 23:01:46.66

虚数域でもそのことは当てはまり、y＝e^(ix)とすればdy/dx＝iyである。
ここで問題となるのが、i方向の変化というのは何を表しているのかということだ。
>>16で書いたように、iを乗じるというのは複素平面上で90°回転させることなので、
その変化の方向が90°回転させる方向となると解釈できる。